PROBABILIDAD Y ESTADISTICA: ENERO

Martes, 03 de Enero del 2017,

Clase N #18

Media y varianza para variables aleatorias continuas

Sean:

x: v.a.c

f(x): función de dencidad de probabilidad de x.

Entonces:

A la media de X algunas veces se le llama esperanza, o valor esperado, de X y se puede denotar también por E(X) o por μ .

La varianza de X:

La desviación estandar es la raiz cuadrada de la varianza.

Viernes, 06 de Enero del 2017,
Clase N #19

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DISCRETAS

La distribución de probabilidades discretas estudian modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas.

El objetivo es obtener una formula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

**1. DISTRIBUCION DICRETA UNIFORME
Una variable tiene una distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su espacio muestral puede obtenerse con igual probabilidad.

EJEMPLO:

El gráfico de la distribución discreta uniforme tiene forma regular.

Media y varianza de la distribución discreta uniforme

EJEMPLO:

**2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

En un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es costumbre designar como "éxito" y "fracaso" aunque pueden tener otra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.
Si la probabilidad de obtener "éxito" en cada ensayo es un valor que o represente con p , entonces, la probabilidad de obtener "fracaso" será el complemento q=1-p.

El experimento puede repetirse y en cada ensayo el valor de probabilidad p se mantiene constante. Se supondrá también que los ensayos son independientes, es decir el resultado de un ensayo no afecta a los resultados de los otros ensayos.
EJEMPLO:

**3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con características similares a un experimento Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de éxitos que se obtienen en un experimento.

Características de un experimento Binomial

La cantidad de ensayos n, que se realiza es finita.

Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles

Todos los ensayos realizados son independientes.

La probabilidad p. de obtener éxito en cada ensayo es constante

EJEMPLO

NOTACIÓN:

Media y varianza de la distribución Binomial

EJEMPLO

Martes, 10 de Enero del 2017,

Clase N #19

**4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al numero de éxitos que se obtendrían en una región o en intervalo de tiempos especificados, si se conoce el numero promedio de éxitos que ocurren.

Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

a) El número de éxitos que ocurren en la region o intervalo es independiente de o que ocurre en otra region o intervalo.

b) La probabilidad de que un resultado ocurra en una region o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalo o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de a region o intervalo.

c) La probabilidad de que mas de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.

Ejemplo:

La cantidad de errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que es una variable con distribución de Poisson, determine la probabilidad que:
a) En cualquier hora ocurra solamente un error.
b) En cualquier hora ocurran al menos 3 errores.
c) En dos horas ocurran no mas de 2 errores.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCION DE POISSON.

Viernes, 13 de Enero del 2017,

Clase N #20

**5. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Es un caso especial de la distribución binomial negativa, cuando k=1. Es decir interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer éxito.

Media y varianza de la distribución Geométrica

EJEMPLO

Martes, 17 de Enero del 2017,

Clase N #21

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS:

El objetivo relacionado a este tipo de distribuciones es obtener una formula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA :

Este tipo de distribución corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de probabilidad.

Formalmente se define como :

Gráficamente se representa de la siguiente forma:

Las formulas de la VARIANZA y LA MEDIA de este tipo de distribución son las siguientes:

Ejemplo relacionado a este tipo de distribución :

Viernes, 20 de Enero del 2017,

Clase N #22

En esta clase se realizo la primera evaluacion del segundo bimestre

Martes, 24 de Enero del 2017,

Clase N #23

DISTRIBUCIÓN NORMAL :

La distribución normal es uno de los conceptos estadísticos modernos mas importantes , pues se utiliza para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por el hombre.

Matemáticamente se define de la siguiente manera:

Donde :

t representa a la variable aleatoria con media u y desviación típica sigma.

Gráficamente se representa de la siguiente forma:

Para determinar las probabilidades generalmente se usa una tabla estandarizada , descrita a continuación :

Donde en la primera columna se encuentra el primer entero y decimal , mientras que en la primera fila el valor centesimal , que complementa la probabilidad del valor a encontrar.

ESTANDARIZACIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL :

También conocido como TIPIFICACION de la variable aleatoria con distribución binomial "X" , es un cambio de variable que nos facilita el calculo de probabilidades , pues reduce el valor inicial correspondiente a la variable X , convirtiéndolo en una cifra relacionada con la variable Z caracterizada porque sigue una distribución normal , cuya media es igual a 0 y desviación típica igual a 1.

Conceptualmente se define así:

Ejemplo :

Viernes, 27 de Enero del 2017,

Clase N #24

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Se define como un caso particular de la Distribución Gamma , pues se aplica cuando se considera alfa igual a 1.

Su definición matemática es la siguiente:

Relación entre el proceso de Poissón y la distribución exponencial:

La distribución exponencial es el modelo correcto para los tiempos de espera, siempre y cuando los eventos sigan un proceso de Poissón, con un parámetro de razón λ, y si T representa el tiempo de espera desde cualquier punto inicial hasta el próximo evento, entonces:

T ~ Exp (λ).

Donde el evento (T > t)indica que el primer evento de Poisson ocurre después de t, en otras palabras no ocurre ningún evento en el intervalo [0,t], es decir:

(T > t) = (X = 0) = P(X = 0)

SE tiene que:

t > 0

ƒ(t) = F´(t) = λe^(-λt)

Características:

Ejemplo:

Martes, 31 de Enero del 2017,

Clase N #25

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL:

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

Ya que la variable aleatoria continua sigue una distribución normal se la puede estandarizar cambiándola por z, y así facilitar los cálculos de las probabilidades: